الملخص يُعتقد أنه بالنسبة لأي أعداد صحيحة موجبة نسبيًا ثابتة a و b و c جميعها أكبر من 1، هناك حل واحد فقط كحد أقصى للمعادلة aˣ+bʸ=cᶻ في الأعداد الصحيحة الموجبة x و y و z، باستثناء حالات محددة. نحن نطور الطرق في عملنا السابق الذي يعتمد على تنوع من نظرية بيكر وندرس الفرضية بدقة للحالات التي يكون فيها c صغيرة بالنسبة لـ a أو b. باستخدام القيود المستمدة من فرضية وجود أكثر من حل واحد للمعادلة، نحصل على عدد من نتائج المحدودية عن الفرضية. على وجه الخصوص، نجد بعض القيم الجديدة لـ c والتي يُفترض أنها غير محدودة، مع الخاصية التي تنص على أنه بالنسبة لكل c من هذا القبيل، تكون الفرضية صحيحة باستثناء عدد محدود فقط من الأزواج (a و b). والأهم من ذلك، نثبت أنه إذا كان c=13، فإن المعادلة تحتوي على حل واحد كحد أقصى، باستثناء (a, b) = (3, 10) أو (10, 3) حيث يعطي كل منهما بالضبط حلين. علاوة على ذلك، دراستنا مع مساعدة نظرية فضاء شميت بين أمور أخرى، تقدم إسهامات قوية لدراسة المعادلات الديوفانتينية من نوع بيلاي، لا سيما نتيجة عامة ومرضية حول فرضية مشهورة لـ M. Bennett بشأن المعادلة aˣ-bʸ=c لأي أعداد صحيحة موجبة ثابتة a و b و c مع كل من a و b أكبر من 1. يتم تقديم بعض النتائج الشرطية تحت فرضية abc أيضًا.
درس Miyazaki وآخرون (الخميس) هذا السؤال.