مستوحاة من الأعمال السابقة، وبالنظر إلى مثلث عشوائي ABC، حيث AM هو المتوسط النسبي للجانب BC و P ? AM، في هذه المقالة، نقترح التحقيق في سلوك دالة المتوسط التناغمي لـ P B2 و P C2. من خلال تحليل النقاط الحرجة لهذه الدالة، نظهر أن المعالم النسبية تتزامن مع مركز الثقل للمثلث إذا وفقط إذا كانت جوانب المثلث جذورًا لبولينيوم متجانس من الدرجة السادسة. كما نقدم بعض المحاكاة العددية لتوضيح الدراسة التي تم تنفيذها. الدراسة ذات صلة لأنها تقدم خصائص غير معروفة مسبقًا لمركز الثقل لمثلث ولها القدرة على مزيد من التحقيقات من خلال النظر في دوال أخرى بجانب المتوسط التناغمي بين P B2 و P C2. في هذا العمل، نستخدم حساب التفاضل، وقانون جيب التمام، ونظرية ستيوارت، وبرنامج GeoGebra.
قام بيريرا وآخرون (الأربعاء) بدراسة هذا السؤال.