الملخص ليكن (M, g) شكل ريمان ثلاثي الأبعاد، مكتمل، ذي نهاية واحدة، وله حداد دقيق ومضغوط ومتصّل. نفترض أن M لها طوبولوجيا بسيطة وأن الانحناء القياسي لـ(M, g) غير سالب. علاوة على ذلك، نفرض أن (M, g) يقبل دالة القدرة 2-capacitary potential v بحيث تكون v، \, v 0 عند اللانهاية. في هذه الملاحظة، نقدم تقدير تكامل المتدرّج لمجموعات المستوى للدالة u=1-v. يؤدي هذا التقدير إلى مقارنة حجم دقيقة لمجموعات تحت المستوى لـ u ومقارنة مساحة دقيقة لمجموعات المستوى لـ u. ومن هذه المقارنة الأخيرة، يتبع متباينة مساحة-سعة دقيقة، تم اشتقاقها أصلاً بواسطة Bray وMiao في 16، مما يوسع حالات صلاحيتها. هذا العمل يستند إلى الورقة الحديثة 23 لـ Colding وMinicozzi. وأخيراً، لأجل الاكتمال، نظهر أيضاً نفس النوع من مقارنات المساحة والحجم، في الحالة التي لا يكون لـ(M, g) فيها حد، مستبدلين الدالة u بدالة مرتبطة بدالة غرين الإيجابية الدنيا. تؤدي مقارنة الحجم هذه إلى برهان هندسي أكثر على متباينة الكتلة الإيجابية مقارنةً بما قدم في 7.
درست فرانشيسكا أورونزيو (Mon,) هذا السؤال.