تحلل هودج لحقول المتجهات المتناظرة على مجموعة ريمان والمعايير الخاصة بها

بالنسبة لمجموعة ريمان m المضغوطة (Mm,g)، حيث m>1، المزودة بحقل متجه متناظر غير تافه ζ مع عامل متناظر σ، يوجد موتر مائل مرتبط φ يسمى الموتر المرتبط، وأيضًا، ζ تقبل تحلل هودج ζ=ζ¯+∇ρ، حيث ζ¯ تحقق divζ¯=0، وهو ما يسمى متجه هودج، وρ هو احتمال هودج لـ ζ. الغرض الرئيسي من هذه المقالة هو الشروع في دراسة تأثير متجه هودج واحتماله على Mm. نتيجة المقالة الأولى تنص على أن مجموعة ريمان m المضغوطة Mm هي كرة m-Sm(c) إذا وفقط إذا (1) بالنسبة لثابت غير صفري c، فإن الدالة −σ/c هي حل لمعادلة بواسون Δρ=mσ، و(2) يكون انحناء ريتشي تحقق Ricζ¯,ζ¯≥φ2. النتيجة الثانية تنص على أنه إذا كانت Mm لها انحناء عددي ثابت τ=m(m−1)c>0، فإنه تكون Sm(c) إذا وفقط إذا كان انحناء ريتشي تحقق Ricζ¯,ζ¯≥φ2 ويمتثل احتمال هودج ρ لمعادلة سائل مثالي ثابت معينة. النتيجة الثالثة توفر تعريفًا جديدًا آخر لـ Sm(c) باستخدام موتر الائتلاف لمتجه هودج ζ¯ لحقل متجه متناظر ζ على مجموعة ريمان المضغوطة Mm مع انحناء ريتشي إيجابي. النتيجة الأخيرة تنص على أن مجموعة ريمان الكاملة والمترابطة Mm، حيث m>2، هي فضاء euclidean m إذا وفقط إذا كانت تقبل حقل متجه متناظر غير تافه ζ الذي يتلاشى موتر الائتلاف له ويقوم ζ بإلغاء موتره المرتبط φ.