استرداد ضعيف، اختبار الفرضيات، والمعلومات المتبادلة في النماذج العشوائية للكتل ورسوم العوامل المزروعة

نموذج الكتلة العشوائي هو نموذج قياسي للمجتمعات في الرسوم البيانية العشوائية. تم تقديمه في العلوم الاجتماعية والإحصاء كنموذج للمجتمعات، وفي علوم الكمبيوتر النظرية كنموذج للحالة المتوسطة لمشكلات تقسيم الرسوم البيانية تحت اسم ``نموذج التقسيم المزروع. '' بالنظر إلى نموذج كتلة عشوائي رقيق، فإن مهمتي الاستدلال القياسيتين هما: (i) الاسترداد الضعيف: هل يمكننا تقدير المجتمعات مع تداخل غير تافه مع المجتمعات الحقيقية؟ (ii) الكشف/اختبار الفرضيات: هل يمكننا التمييز إذا كانت العينة مأخوذة من نموذج الكتلة أو من رسم بياني عشوائي بدون بنية مجتمعية مع احتمال يميل إلى 1 كلما زاد حجم الرسم البياني إلى اللانهاية؟ في هذا العمل، نظهر أنه بالنسبة لنماذج الكتل العشوائية الرفيعة، تكون مهمتي الاستدلال متكافئتين باستثناء نقطة حرجة. أي، أن الاسترداد الضعيف ممكن من الناحية المعلوماتية إذا وفقط إذا كان الكشف ممكنًا. نجد بذلك ارتباطًا قويًا بين هاتين المفهومين من الاستدلال للنموذج. كما أثبتنا أنه عندما يكون الكشف مستحيلاً، فإن اختبار فرضية صريح قائم على كثيرات الحدود ذات الدرجة المنخفضة في مصفوفة الاتصال للرسم البياني المرصود يحقق القوة الإحصائية المثلى. هذا الاختبار ذو الدرجة المنخفضة فعال مقارنة باختبار نسبة الاحتمالية، والذي لا يُعرف أنه فعال. علاوة على ذلك، أثبتنا أن المعلومات المتبادلة اللانهائية بين الشبكة المرصودة وبنية المجتمع تظهر انتقالاً في الطور عند عتبة الاسترداد الضعيف. وقد تم إثبات نتائجنا في بيئات أوسع بكثير تتضمن نماذج الكتل العشوائية ذات الشجرة الثلاثية ورسوم العوامل المزروعة العامة. في هذه البيئات، أثبتنا أن استحالة الاسترداد الضعيف تعني التلامس وقدمنا شرطًا يضمن تكافؤ الاسترداد الضعيف والكشف.