الحلول الرمزية ذات الشكل المغلق: منظور جديد لحل المعادلات التفاضلية الجزئية

حل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) في الفضاء الإقليدي بحلول رمزية ذات شكل مغلق كان حلمًا طويل الأمد للرياضيين. مستوحاة من التعلم العميق، أظهرت الشبكات العصبية المدعومة بالمعلومات الفيزيائية (PINNs) وعودًا كبيرة في الحلول العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية. ومع ذلك، نظرًا لأن الشبكات العصبية المدعومة بالمعلومات الفيزيائية تقرب في الأساس الحلول ضمن فضاء الدوال المستمرة، فإن حلولها العددية تعاني من نقص في الدقة وقابلية التفسير مقارنةً بالحلول الرمزية. يقترح هذا البحث إطار عمل مبتكر: إطار رمزي ذات شكل مغلق للمعادلات التفاضلية الجزئية (SymPDE)، يستكشف استخدام التعلم العميق المعزز للحصول على حلول رمزية مباشرة للمعادلات التفاضلية الجزئية. يعالج SymPDE التحديات التي تواجهها الشبكات العصبية المدعومة بالمعلومات الفيزيائية في ضبط الدوال ذات التردد العالي والتغير الحاد. على حد علمنا، لم يتم تنفيذ هذا النهج في أي عمل سابق. تظهر التجارب على حل معادلة بواسون ومعادلة الحرارة في أنظمة ديناميكية غير زمنية وزمنية على التوالي أن SymPDE يمكن أن يوفر حلولًا رمزية دقيقة ذات شكل مغلق لمختلف أنواع المعادلات التفاضلية الجزئية.