GMC-PINNs: طريقة جديدة عامة مونتي كارلو PINNs لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية على المجالات غير المنتظمة

تم استخدام الشبكات العصبية المدعومة بالفيزياء (PINNs) على نطاق واسع لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) من أنواع مختلفة، بما في ذلك PDEs الكسرية (fPDEs) 29. هنا، نقترح طريقة جديدة عامة (شبه) مونتي كارلو PINN لحل fPDEs على المجالات غير المنتظمة. على وجه التحديد، بدلاً من تقريب المشتقات الكسرية باستخدام تقريبات مونتي كارلو للتكاملات كما تم القيام به سابقًا في 31، نستخدم طريقة تقريب مونتي كارلو أكثر عمومية لحل fPDEs المختلفة، والتي تكون صالحة للتفاضيل الكسرية تحت أي تعريف. علاوة على ذلك، استنادًا إلى دالة الكثافة الاحتمالية العامة، تقع جميع العقد المولدة في مناطق أكثر كثافة بالقرب من النقطة المستهدفة حيث نقوم بالتفاضيل. هذا له اتصال غير متوقع مع طرق الفرق المنتهية المعروفة على الشبكات غير المتجانسة أو المتداخلة، وبالتالي ترث طريقتنا مزاياها. في نفس الوقت، تظهر العقد المولدة توزيعًا كثيفًا شبيهًا بالكتل، مما يؤدي إلى كفاءة حسابية جيدة لهذه الطريقة. نقدم الإطار لاستخدام هذا الخوارزم ونطبقه على عدة أمثلة. تظهر نتائجنا فعالية GMC-PINNs في التعامل مع مشاكل المجالات غير المنتظمة وتظهر كفاءة حسابية أعلى مقارنة بطريقة fPINN الأصلية. كما نقوم بإدراج مقارنات مع Monte Carlo fPINN 31. أخيرًا، نستخدم أمثلة لإظهار فعالية الطريقة في التعامل مع مشاكل تحديد موقع الحدود الضبابية، ثم نستخدم الطريقة لحل معادلة بلوخ-توري التكرارية ثلاثية الأبعاد المقترحة في النطاق البطيني للدماغ البشري، ومقارنة النتائج مع الطرق العددية الكلاسيكية.