التطابقات المثالية والأشجار الممددة: التربيعية، التطابقات والعزلة

العدد الذي هو إما مربع عدد صحيح أو اثنين من مربع عدد صحيح يسمى تربيعياً. هناك نتيجتان رئيسيتان في الأدبيات حول الرسوم البيانية التي يكون عدد تطابقاتها المثالية تربيعياً: أحدهما بسبب جوكوش (للرسوم البيانية المسطحة الثابتة تحت الدوران بزاوية 90 درجة) والأخرى بسبب المؤلف الثاني (تتعلق بالرسوم البيانية المسطحة التي لها محوري تناظر متعامدين). نقدم في هذه الورقة فئة جديدة من هذا النوع، تتكون من بعض الرسوم البيانية المسطحة التي يتطلب أن يكون لها محور تناظر واحد فقط. تعتمد برهنتنا على تطابق طبيعي بين مجموعة التطابقات المثالية لعائلتين مرتبطتين ارتباطاً وثيقاً (لكن غير متماثلتين!) من الرسوم البيانية، وهو مثير للاهتمام في حد ذاته. وقد اتضح أن إعادة صياغة هذا التطابق من حيث الأشجار الممددة هي أكثر طريقة طبيعية لتقديم هذه النتيجة. يمكن أيضًا استخدام الحركة الأساسية في بناء التطابق أعلاه (الذي نسميه الانزلاق) لتوسيع التطابق الكلاسيكي لتمبرلي بين الأشجار الممددة لرسوم بيانية مسطحة والتطابقات المثالية لرسوم بيانية مرتبطة ارتباطاً وثيقاً. نقدم ذلك، وكما تطبيق نجيب على سؤال مفتوح طرحه كورتييل، هوانغ وكراكنثالير. نحن أيضًا نناقش تطابق ديمير آخر (مستخدم في برهان النتيجة المذكورة أعلاه للمؤلف الثاني)، ونستنتج من تحسينه نتائج جديدة للأشجار الممددة. تشمل هذه النتائج إصدارًا نهائيًا من نتيجة الاستقلال للأشجار الممددة المتجانسة على ² بسبب يوهانسون، ونظيرًا له، وبرهان تطابقي لنتيجة الاستقلال حول تضمينات الحواف في الشجرة الممددة المتجانسة على ² بسبب ليونز.