ملاحظة حول الأعداد المتعددة الألوان من رامسي للرسوم البيانية المتصلة

رقم رامسي بالحجم اللوني r لرسم بياني H، الذي يُرمز له بـ Rᵣ (H) هو أصغر عدد من الحواف في رسم بياني G يمتلك الخاصية التي تمنع كل تلوين lوني r للحواف في G من احتواء نسخة أحادية اللون من H. أثبت كريفيلفيتش أن Rᵣ (P₌+₁) = (r²m) حيث P₌+₁ هو المسار على m حافة. ويشرح أن برهانه ينطبق فعلياً على أي رسم بياني متصل H مع m حواف وعدد تغطية القمة أكبر من m. كما يشير إلى أن بعض القيود على عدد تغطية القمة ضرورية حيث أن النجمة مع m حواف، K₁, ₌، لها عدد تغطية القمة 1 وتحقق Rᵣ (K₁, ₌) =r (m-1) +1. نحن نثبت أن النجمة هي فعلياً الاستثناء الوحيد؛ أي أن Rᵣ (H) = (r²m) لكل رسم بياني متصل ليس نجمة H مع m حواف. كما نثبت تقوية لهذه النتيجة للأشجار. يتبع من نتائج بيك وديلامونيكا أن R₂ (T) = ( (T) ) لكل شجرة T مع الانقسام \V₁, V₂\ و (T) =|V₁|\d (v): v V₁\+|V₂|\d (v): v V₂\. نحن نثبت أن Rᵣ (T) = (r² (T) ) لكل شجرة T، مرة أخرى مع استثناء النجمة. بالإضافة إلى ذلك، نثبت أنه لفئة معينة من الأشجار T (التي تشمل جميع الأشجار ذات نصف القطر 2 وجميع الأشجار غير النجميّة مع درجة قصوى خطية) لدينا Rᵣ (T) = (r² (T) ) لكل T T.