التمثيل النسبي في الفضاءات المترية واختيار اللجان ذات التشويه المنخفض

نقدم تعريفًا جديدًا لمجموعة صغيرة R من k نقاط كونها "تمثيلية" لمجموعة أكبر في فضاء متري. نظرًا لمجموعة V (مثل الوثائق أو الناخبين) التي يجب تمثيلها، ومجموعة C من الممثلين المحتملين، فإن معيارنا يتطلب أنه بالنسبة لأي مجموعة فرعية S تتكون من كسر ثيتا من V، يجب أن لا تتجاوز المسافة المتوسطة لـ S إلى أفضل نقاطها theta*k في R عاملاً غاما مقارنة بمسافتها المتوسطة إلى أفضل نقاط theta*k بين جميع عناصر C. هذا التعريف هو تعزيز للعدالة النسبية والعدالة الأساسية، ولكن - بخلاف تلك المفاهيم - يتطلب أن يتم تمثيل الكتل الكبيرة بشكل متناسب مع حجمها. نظرًا لوجود حالات لا توجد فيها حلول - إلا إذا كانت غاما كبيرة بشكل كثيرات الحدود - ندرس هذا المفهوم في إطار زيادة الموارد، مشيرين ضمنيًا إلى القيود لمجموعة R بحجم k كما لو كان حجمها فقط k/alpha، حيث alpha > 1. علاوة على ذلك، وبدافع من التطبيق على الانتخابات، نركز بشكل أساسي على النموذج "الترتيبي"، حيث لا يتعلم الخوارزمية المسافات الفعلية؛ بدلاً من ذلك، يتعلم فقط لكل نقطة v في V ولكل زوج من المرشحين c، c' أيهما من c، c' أقرب إلى v. النتيجة الرئيسية لدينا هي أن قاعدة توسيع الموافقات (EAR) لآزيز ولي هي (alpha، غاما) تمثيلية مع غاما.