نحو فرضية فو

في عام 2002، افترض فو أن الرسوم البيانية ذات الدرجة القصوى Δ والدرجة الثنائية القصوى لا تزيد عن ζΔ لها عدد اللون الأقل (ζ+o (1)) Δ. على الرغم من أهميتها، فإن هذه الفرضية لا تزال مفتوحة على نطاق واسع. التقدم المباشر الوحيد حتى الآن تم تحقيقه في "النظام الكثيف"، عندما تكون ζ قريبة من 1، بواسطة هارلي، دي فيكلوس، وكانغ. في هذه الورقة نقدم أول تقدم في النظام النادر ζ < 1، وهو الحالة ذات الاهتمام الأساسي لفو. نبرهن على أنه يوجد ζ₀ > 0 بحيث بالنسبة لجميع ζ < ζ₀، فإن ما يلي ينطبق: إذا كانت G رسمًا بيانيًا ذو درجة قصوى Δ ودرجة ثنائية قصوى لا تزيد عن ζΔ، فإن χ (G) < (ζ^{1/32} + o (1)) Δ. نقوم بإشتقاق هذا من نتيجة أكثر عمومية تفترض فقط أن الجوار المشترك لأي s من الرؤوس محدد بدلاً من درجات الثنائي للرؤوس. نتيجتنا الأكثر عمومية تمتد أيضًا إلى إعداد تلوين القائمة، وهو أمر ذو أهمية مستقلة.