دع φ R A يكون تغاير حلقي محدود، حيث R هو حلقة نوثيرية ثنائية الجانب، وM هو متجه محدد في اليسار A. تحت شروط متماثلة مناسبة على A بالنسبة لـ R، نثبت وجود علاقة وثيقة بين المتنقل الكلاسيكي لـ M على A والمتنقل غورستاين لوحدة متجانسة معينة لـ M على R. كتطبيق، لكل عدد صحيح k>0، نقدم شرطاً كافياً بموجبه يكون M حراً من نوع k على A إذا وفقط إذا كانت وحدة متجانسة معينة لـ M على R حرة من نوع k على R، موسعاً نتيجة زهاو. نقدم مفهوم التوسعات المسطحة شبه الموثوقة ونظهر أنه، تحت افتراضات مناسبة، انغلاق التوسيع لفئة الوحدات الحرة من نوع k على R يعادل ذلك على A. كان أحد التطبيقات هو الإجابة الإيجابية على سؤال طرحه زهاو بشأن شبه غورستاينية k، في الحالة التي تكون فيها كل من R وA جبر نوثيري. أخيراً، عندما يكون φ توسعاً فرزياً منفصلًا مقسمًا، يُثبت أن فئة الوحدات الحرة من نوع k على R لها نوع تمثيل محدود إذا وفقط إذا كان الحال مماثلاً على A، مع تطبيقات على حلقات المجموعات المنحرفة.
دراسة في التحليلية جين ليو (الأربعاء،) درست هذا السؤال.