The Golden Compass — x² + x = 1 and the golden structure of prime numbers :38 theorems from Fibonacci to Riemann, 588,526 verifications, zero violations

The unique positive solution of x² + x = 1 is the golden ratio φ. Evaluating the k-th cyclotomic polynomial at the Frobenius quotient −φ² of the ring Zφ yields an identity that entirely determines the factorisation of Fibonacci numbers at prime index. This paper develops the consequences of this identity across five levels: a factorisation edifice (20 theorems, including the 2/m law derived exactly from Chebotarev), a bridge to Dirichlet L-functions via the Fibonacci–Lucas Möbius duality (Th. 28), Möbius strip torsion (Th. 31–32) and the golden divisor (Th. 38), exclusion of the Siegel zero for the pentagonal family L(s, χ₅·χₖ), and the Kepler cascade (1, √φ, φ) linking Fibonacci growth, Mahler measure, and min|L| decay. The constant 4 — Pell friction, topological gap of cyclotomic norms, first Pell-Dirichlet step, and square of the imaginary unit via Cassini — emerges as the universal coupling constant between the Fibonacci and Lucas faces. Computational verification covers 78,495 primes (k < 10⁶), 432 giant primes (501 digits), and one ultra-giant prime of 1,000 digits: the universal floor of 0.099 is predicted a priori and confirmed to three significant figures. L'unique solution positive de x² + x = 1 est le nombre d'or φ. En évaluant le k-ième polynôme cyclotomique au quotient de Frobenius −φ² de l'anneau Zφ, on obtient une identité qui détermine entièrement la factorisation des nombres de Fibonacci à indice premier. Cet article développe les conséquences de cette identité en cinq niveaux : un édifice de factorisation (20 théorèmes, dont la loi 2/m déduite exactement de Chebotarev), un pont vers les fonctions L de Dirichlet via la dualité Möbius Fibonacci–Lucas (Th. 28), la torsion du ruban de Möbius (Th. 31–32) et le diviseur d'or (Th. 38), l'exclusion du zéro de Siegel pour la famille pentagonale L(s, χ₅·χₖ), et la cascade de Kepler (1, √φ, φ) reliant croissance de Fibonacci, mesure de Mahler et décroissance des min|L|. La constante 4 — friction de Pell, écart topologique des normes cyclotomiques, premier pas de Pell-Dirichlet, et carré de l'unité imaginaire via Cassini — apparaît comme la constante de couplage universelle entre les faces Fibonacci et Lucas. La vérification computationnelle couvre 78 495 premiers (k < 10⁶), 432 premiers géants (501 chiffres), et un premier ultra-géant de 1 000 chiffres : le plancher universel de 0.099 est prédit a priori et confirmé à trois chiffres significatifs.