نظرية عينة شانون—امتداداتها وتطبيقاتها المتنوعة: مراجعة تعليمية

لقد مر ما يقرب من ثلاثين عامًا منذ أن قدم شانون نظرية العينة في نظرية الاتصالات. في هذه الورقة الاستعراضية سنحاول تقديم المساهمات المختلفة المتعلقة بنظريات العينات مع التفاصيل الرياضية اللازمة لجعلها مكتفية ذاتيًا. سنبدأ ببيان واضح لنظرية عينة شانون يتبعه تفسيرها التطبيقي للنظم غير المتغيرة زمنياً. ثم سنستعرض أصلها كسلسلة استيفاء ويتم تضمين الامتدادات لتشمل العينات للوظائف متعددة المتغيرات، العمليات العشوائية، العينات غير المتجانسة، الوظائف غير المحدودة النطاق، العينة الضمنية، الوظائف العامة (التوزيعات)، العينات مع الوظيفة ومشتقاتها كما اقترح شانون في ورقته الأصلية، والعينات للتحويلات التكاملية العامة. كما سيتم تلخيص الشروط اللازمة للوظائف التي سيتم أخذ عينات منها. سيتم مناقشة وتحليل خطأ التوسعات المختلفة للعينة، بما في ذلك حدود الخطأ المحددة للتقليص، التداخل، الاهتزاز وأجزاء من أخطاء أخرى متنوعة. ستختتم هذه الورقة بالبحث في التطبيقات الأخيرة المختلفة لنظريات العينات في مجالات أخرى، بجانب نظرية الاتصالات. وتشمل هذه مجالات البصريات، علم البلورات، النظم المتغيرة زمنياً، مشاكل القيم الحدية، تقريب spline، الوظائف الخاصة، وتحويلات فورييه وغيرها من التحويلات المتقطعة.