شبكة دوامات زيتا وشرط هيرميت-بيهلر الهندسي

نقدم عامل دوامات زيتا أوميغا (s): = J, A (s) المرتبط بعائلة تشتت آيزنشتاين A (s) = J Mₚhi على L² (SL (2, Z) )، حيث J هو انحراف كرين وMₚhi هو الضرب بواسطة معامل التشتت phi (s) = xi (2s - 1) / xi (2s). نثبت أن أوميغا يمثل مصفوفة قطرية في أساس آيزنشتاين بقيمة ذاتية 2i Im phi (sigma + it)، وأن المبدل الثاني J, Omega يتلاشى تمامًا — وهي نتيجة أثبتت بشكل غير مشروط من معادلة الوظيفة لـ xi. الكائن الأساسي هو Im phi (sigma + it) كدالة هارمونية حقيقية في الشريط الحرج، حيث نسمي مجموعة نقاط الصفر شبكة الدوامات W. نثبت أنه تحت فرضية ريمان، خطوط الصفر لـ Im phi و Re phi لا تتقاطع في شريط الفجوة sigma ضمن (1/2، 17/30) — وهو شرط هيرميت-بيهلر الهندسي — ونظهر أن هذا يوفر شكلين مكافئين جديدين لفرضية ريمان، موسعين سلسلة التكافؤ في برنامج MNZI من ثمانية إلى عشرة روابط. بالقرب من كل صفر ريمان gammaₙ، تكون شبكة الدوامات محليًا منحنيًا أفيًا يمر عبر (1/2، gammaₙ) مائلًا بزاوية حسابية psiₙ = arg (xi'' (2i gammaₙ) / xi' (2i gammaₙ) )، والتي نحسبها لأول عشرين صفرًا. تسلسل psiₙ يغطي الدائرة كاملة؛ بناءً على حدس مصفوفات عشوائية وأدلة رقمية (إحصائية KS 0.26 مقابل التوزيع المنتظم عند n = 20)، يُفترض أنه موزع تعادليًا بالنسبة لـ mod 2pi. ملاحظة حول حد الفجوة. يُؤخذ الحد الأعلى لشريط الفجوة على أنه sigma = 17/30 طوال الورقة، مما يعكس أفضل حد غير شرطي حالي بواسطة Guth-Maynard 22 (2024)، الذي حسّن أسّ كثافة الأصفار إلى A = 30/13، موصلًا منطقة خالية من الأصفار من الحد السابق Heath-Brown 21 المتمثل بـ sigma > 7/12 إلى sigma > 17/30. جميع النظريات صحيحة لأي sigma₀ ضمن (1/2، 1) يُستخدم كحد علوي للفجوة؛ ونستخدم 17/30 كأفضل قيمة غير شرطية حالية.