من الحلول النادرة لأنظمة المعادلات إلى النمذجة النادرة للإشارات والصور

تولد مصفوفة كاملة الرتبة A ∈ IR n×m مع n m نظامًا غير محدد من المعادلات الخطية Ax = b له حلول غير محدودة. افترض أننا نسعى للحصول على الحل النادر، أي الحل الذي يحتوي على أقل عدد من العناصر غير الصفرية: هل يمكن أن يكون فريدًا في أي وقت؟ إذا كان الأمر كذلك، متى؟ بما أن تحسين النذرة بطبيعته يتطلب دمجًا، فهل توجد طرق فعالة للعثور على الحل الأكثر ندرة؟ تمت الإجابة عن هذه الأسئلة بشكل إيجابي وبنّاء في السنوات الأخيرة، مما كشف عن مجموعة واسعة من الظواهر المفاجئة؛ على وجه الخصوص، وجود شروط سهلة التحقق يمكن بموجبها العثور على حلول مثالية النذرة بطرق حسابية فعالة وملموسة. تلهم هذه النتائج النظرية منظورًا جريئًا حول بعض المشكلات العملية المهمة في معالجة الإشارات والصور. يمكن صياغة العديد من مشاكل معالجة الإشارات والصور المعروفة بأنها تطلب حلولًا من أنظمة معادلات غير محددة. وقد بدت هذه المشكلات في السابق، للعديدين، غير قابلة للحل. هناك أدلة كبيرة على أن هذه المشكلات غالبًا ما تحتوي على حلول نادرة. ومن ثم، فإن التقدم في العثور على حلول نادرة للأنظمة غير المحددة ينشط البحث في مثل هذه المشكلات في معالجة الإشارات والصور - بتأثير ملحوظ. في هذه الورقة، نستعرض النتائج النظرية حول الحلول النادرة للأنظمة الخطية، التجريبية