نموذج ماركويتز في الزمن المستمر مع تكاليف المعاملات

تمت دراسة مشكلة اختيار المحفظة في نموذج ماركويتز في الزمن المستمر في سوق يحتوي على سهم واحد وسند واحد وتكاليف معاملات نسبية. هذه مشكلة تحكم عشوائي فردية، بطبيعتها، مع أفق زمني محدود. من خلال سلسلة من التحولات، تم تحويل المشكلة إلى ما يسمى بمشكلة العقبات المزدوجة، وهي مشكلة مدروسة جيدًا في أدبيات الفيزياء والمعادلات التفاضلية الجزئية، تتميز بوجود حدين حرين يتغيران مع الزمن. تم إثبات أن الحدين، الذين يعرفان مناطق الشراء والبيع وعدم التداول، سلسين مع مرور الزمن. هذا بدوره يحدد الاستراتيجية المثلى، عبر مشكلة سكوروكود، على أنها تلك التي تحاول أن تبقي وضع السندات والأسهم المعدل ضمن منطقة عدم التداول. تم الكشف عن عدة ميزات للاستراتيجية المثلى تختلف بشكل ملحوظ عن نظيرتها التي تخلو من تكاليف المعاملات. وقد تم إظهار أنه يوجد طول زمني حرج، يعتمد على العائد الزائد للسهم وكذلك على رسوم المعاملات ولكن مستقل عن الهدف الاستثماري وتقلب السهم، بحيث أنه قد لا يكون العائد المتوقع النهائي قابلاً للتحقيق إذا كان أفق التخطيط أقصر من ذلك الطول الحرج (بينما في غياب تكاليف المعاملات، يمكن الوصول إلى أي عائد متوقع في فترة زمنية تعسفية). كما تم توضيح أنه يجب على أي شخص يتبع الاستراتيجية المثلى عدم شراء السهم بعد النقطة التي يصبح فيها الوقت حتى الاستحقاق أقصر من الطول الحرج المذكور أعلاه. علاوة على ذلك، من غير المرجح أن يشتري المستثمر السهم كلما اقترب تاريخ الاستحقاق، ومن المرجح أكثر أن يبيع السهم. هذه الميزات، على الرغم من توافقها مع الحكمة الاستثمارية المقبولة على نطاق واسع، تشير إلى أن أفق التخطيط هو جزء لا يتجزأ من الفرص الاستثمارية.