عن العلاقة بين المعادلات الرئيسية والمشي العشوائي وحلولها

تم إظهار أنه توجد علاقة بسيطة بين المعادلة الرئيسية وحلول المشي العشوائي. نفترض أن المتجول العشوائي يأخذ خطوات في أوقات عشوائية، مع الزمن بين الخطوات الخاضع لكثافة احتمالية ψ(Δt). ثم، إذا كانت مصفوفة احتمال الانتقال للمشي العشوائي M ومصفوفة معدل الانتقال للمعادلة الرئيسية A مرتبطة بواسطة A = (M − 1)/τ1، حيث τ1 هو اللحظة الأولى لـ Ψ(t) وبالتالي الزمن المتوسط بين الخطوات، فإن حلول المشي العشوائي والمعادلة الرئيسية تقترب من بعضها البعض عند الأوقات الطويلة وتكون متساوية أساساً للأوقات التي تزيد كثيراً عن الحد الأقصى لـ (τn/n!)1/n، حيث τn هو اللحظة nth من ψ(t). بالنسبة لكثافة الاحتمال بواسون ψ(t)، يتبين أن الحلول متطابقة في جميع الأوقات. بالنسبة للحالة حيث A ≠ (M − 1)/τ1، تقترب حلول المعادلة الرئيسية والمشي العشوائي من بعضها البعض عند الأوقات الطويلة وتكون متقاربة تقريباً للأوقات التي تزيد كثيراً عن الحد الأقصى لـ (τn/n!)1/n إذا كانت القيم الذاتية والدوال الذاتية لـ A و(M − 1)/τ1 متقاربة تقريباً للقيم الذاتية القريبة من الصفر.