Sistemas de Lie estocásticos hamiltonianos y aplicaciones

Resumen Este documento ofrece un enfoque práctico para los sistemas de Lie estocásticos, es decir, ecuaciones diferenciales estocásticas cuyas soluciones generales pueden escribirse como una función que depende únicamente de una familia genérica de soluciones particulares y algunas constantes relacionadas con las condiciones iniciales. Corregimos el teorema de Lie estocástico que caracteriza los sistemas de Lie estocásticos, demostrando que, contrariamente a afirmaciones anteriores, mantiene su forma clásica en el enfoque de Stratonovich. En contraste, mostramos que la forma de los sistemas de Lie estocásticos puede diferir significativamente de la clásica en el formalismo de Itô. Se introducen nuevas generalizaciones de los sistemas de Lie estocásticos, como los llamados sistemas de Lie estocásticos foliados. Posteriormente, nos centramos en sistemas de Lie estocásticos que son sistemas hamiltonianos relativos a diferentes estructuras geométricas. Se presta especial atención al caso simplectico. Estudiamos sus propiedades de estabilidad y sentamos las bases de un método estocástico de energía-momento. Se desarrolla un método de coalgebra de Poisson estocástico para derivar reglas de superposición para sistemas de Lie estocásticos hamiltonianos. Se presentan aplicaciones potenciales de nuestros resultados para modelos estocásticos biológicos, osciladores estocásticos, sistemas estocásticos de Lotka-Volterra, modelos de Palomba-Goodwin, entre otros. Nuestros hallazgos complementan enfoques anteriores al usar ecuaciones diferenciales estocásticas en lugar de ecuaciones deterministas diseñadas para capturar algunas de las características de los modelos de naturaleza estocástica.