Un método de Ritz para la solución de problemas generales de valor propio paramétrico

Este trabajo aborda la solución aproximada del problema generalizado de valores propios con una matriz de coeficientes que es una función afín de d-parámetros. Se asume que la matriz de coeficientes es simétrica, definida positiva y espectralmente equivalente a una matriz promedio para todos los parámetros en un conjunto dado. Desarrollamos un método de Ritz para aproximar rápidamente los valores propios en el intervalo espectral de interés (0, ) para un valor de parámetro dado. El subespacio de Ritz es el mismo para todos los parámetros y está diseñado basándose en la observación de que cualquier vector propio puede dividirse en dos componentes. La primera componente pertenece a un subespacio generado por algunos vectores propios de la matriz promedio. La segunda componente está definida por un operador de corrección que es una función analítica de d + 1 dimensiones. Utilizamos esta estructura y construimos nuestro subespacio de Ritz a partir de los vectores propios de la matriz promedio y muestras del operador de corrección. Las muestras se evalúan en puntos de interpolación relacionados con un método de interpolación polinómica dispersa. Mostramos que el subespacio de Ritz resultante puede aproximar los vectores propios del problema original relacionados con el intervalo espectral de interés con la misma precisión que la interpolación polinómica dispersa aproxima el operador de corrección. Se derivan límites para el error del valor propio de Ritz a partir de esto y de resultados conocidos. Los resultados teóricos se ilustran con ejemplos numéricos. La ventaja de nuestro enfoque es que el análisis trata valores propios múltiples y cruces de valores propios que típicamente han planteado desafíos técnicos en trabajos similares.