Sea AG la matriz de adyacencia de un grafo simple G, y sean (G), f (G), q (G), (G) y f (G) sus números cromáticos, número cromático fraccionario, número cromático cuántico, rango ortogonal y rango proyectivo, respectivamente. Para p ≥ 0, definimos las p-energías positiva y negativa de G como Eₚ^+ (G) = 㶁 > ₀ ᵢᵖ, Eₚ^- (G) = 㶁 < ₀ |ᵢ|ᵖ, donde ₁ ₙ son los valores propios de AG. Demostramos que para todo p ≥ 0, (G) \f (G), q (G), (G) \ f (G) 1 + \ {Eₚ^+ (G) Eₚ^- (G), Eₚ^- (G) Eₚ^+ (G) \}^1{|p - 1|}. Este resultado unifica y fortalece una serie de límites existentes correspondientes a los casos p = 0, 2, \. En particular, el caso p = 0 produce el límite de inercia f (G) f (G) 1 + \n^+{n^-, n^-n^+\}, donde n^+ y n^- denotan el número de valores propios positivos y negativos de AG, respectivamente. Esto resuelve dos conjeturas de Elphick y Wocjan. También demostramos que para ciertos grafos, valores no enteros de p proporcionan límites inferiores más precisos que los límites espectrales existentes. Como ejemplo, determinamos q para el grafo de Tilley, que no puede ser logrado usando límites de p-energía (no ponderados) existentes. Nuestra prueba emplea una nueva síntesis de álgebra lineal y herramientas de teoría de medida, lo que nos permite superar los límites espectrales existentes.
Elphick et al. (Tue,) estudiaron esta cuestión.