Sobre la cohomología semiinfinita de álgebras de vertex graduadas-unitarias

Recientemente, el primer autor junto con A. Ardehali, M. Lemos y L. Rastelli introdujeron la noción de unitariedad graduada para álgebras de vertex. Esta generalización de la unitariedad está motivada por la correspondencia SCFT/VOA e introduce una nueva estructura de espacio de Hilbert en el espacio de estados de una amplia clase de álgebras de vertex que no son unitarias en el sentido convencional. En este artículo, estudiamos la cohomología semiinfinita relativa de álgebras de vertex graduadas-unitarias que admiten un mapa momento cuántico quiral para un álgebra de corrientes afines en el doble del nivel crítico. Mostramos que el complejo de cadenas semiinfinito relativo para tal álgebra de vertex graduada-unitaria tiene una estructura análoga a la de formas diferenciales en una variedad Kähler compacta, generalizando una forma fuerte de la construcción clásica de Banks--Peskin y Frenkel--Garland--Zuckerman. Deducimos que la cohomología semiinfinita relativa es a su vez graduada-unitaria, lo que establece la unitariedad graduada para una amplia clase de álgebras de operadores de vertex que surgen de teorías cuánticas de campo supersimétricas en tres y cuatro dimensiones. Además, establecemos una acción externa de USp(2) sobre la cohomología semiinfinita (que no respeta el gradiente cohomológico), análoga al sl(2) de Lefschetz en geometría Kähler. También mostramos que el complejo de cadenas semiinfinito es cuasi-isomorfo como una álgebra de vertex graduada diferencial a su cohomología, en analogía con el resultado de formalidad de Deligne--Griffiths--Morgan--Sullivan para la cohomología de de Rham de variedades Kähler compactas. Concluimos observando las consecuencias de estos resultados para las álgebras de vertex de Poisson asociadas y las reducciones de Poisson derivadas de tipo finito relacionadas.