S-Ideales: Un Marco Unificado para Estructuras Ideales a Través de Subconjuntos Cerrados Multiplicativamente

En este artículo, estudiamos ideales definidos con respecto a subconjuntos cerrados multiplicativamente arbitrarios S⊆R de un anillo conmutativo R. Un ideal I⊆R se llama un S-ideal si para todos a,b∈R, la condición ab∈I y a∈S implica b∈I. Esto es equivalente a la identidad I=S⁻¹I∩R, donde S⁻¹I es la extensión de I en el anillo de fracciones S⁻¹R. El concepto de S-ideales proporciona un marco unificado que abarca varios tipos de ideales clásicos. Por ejemplo, los r-ideales surgen cuando S=reg(R), el conjunto de elementos regulares. Si S=R∖P para un ideal primo P, entonces los S-ideales coinciden con los ideales P-primarios. Los ideales que admiten descomposición primaria corresponden a S-ideales para los cuales S es el complemento de una unión finita de ideales primos. Además, los z₀-ideales son S-ideales cuando S es el complemento de una unión de ideales primos mínimos de R. Generalizamos varios resultados conocidos para r-ideales a este contexto más amplio e investigamos propiedades estructurales y de cierre de los S-ideales en varios contextos. Como aplicación, damos una caracterización de la regularidad von Neumann de la localización S⁻¹R en términos de S-ideales. También estudiamos el comportamiento de los S-ideales en anillos polinómicos, idealizaciones y construcciones amalgamadas con respecto a diferentes elecciones de S.