Estudiamos el poder expresivo de la lógica de primer orden con cuantificadores de conteo, especialmente el fragmento Cᵏq de k-variable y rango de cuantificador-q, utilizando la indistinguibilidad de homomorfismos. Recientemente, Dawar, Jakl y Reggio~ (2021) probaron que dos grafos satisfacen las mismas oraciones Cᵏq si y solo si son indistinguibles por homomorfismos sobre la clase Tᵏq de grafos que admiten una cobertura de bosque de k-piedras de profundidad q. Tras reprobar este resultado usando medios elementales, proporcionamos un análisis gráfico de la clase de grafos Tᵏq. Esto nos permite separar Tᵏq de la intersección TW₊-₁ TDq, siempre que q sea suficientemente mayor que k. Aquí, TW₊-₁ es la clase de todos los grafos de ancho de árbol a lo sumo k-1 y TDq es la clase de todos los grafos de profundidad de árbol a lo sumo q. Podemos elevar esta separación a una separación (semántica) de las respectivas relaciones de indistinguibilidad de homomorfismos ₓ㵮ₐ y ₓₖ_₊-₁ TDq. Hacemos esto mostrando que las clases TDq y Tᵏq son cerradas bajo la distinción de homomorfismos, como conjeturó Roberson~ (2022). Para probar la conjetura de Roberson para Tᵏq, caracterizamos Tᵏq en términos de un juego monotono de Cops-and-Robber. El núcleo es probar que si Cop tiene una estrategia ganadora, entonces Cop también tiene una estrategia ganadora que es monotona. Con este fin, mostramos cómo transformar la estrategia ganadora de Cops en una pre-descomposición de árbol, que se inspira en descomposiciones de matroides, y luego aplicando un intrincado procedimiento de 'limpieza' en amplitud a lo largo de la pre-descomposición de árbol (que puede perder temporalmente la propiedad de representar una estrategia), para lograr la monotonicidad mientras controlamos el número de rondas simultáneamente en todas las ramas de la descomposición a través de un argumento de intercambio de vértices.
Adler et al. (Vie,) estudiaron esta cuestión.