Percolación homológica en un toro: Plaquetas y permutoedros

Estudiamos análogos homológicos de dimensiones superiores de la percolación de enlaces en una cuadrícula y la percolación de sitios en una cuadrícula triangular. Al tomar un cociente de ciertos complejos celulares infinitos por subredes crecientes, obtenemos complejos celulares finitos con un alto grado de simetría y con la topología del toro Tᵈ. Cuando subcomplejos aleatorios inducen ciclos i-dimensionales no triviales en la homología del toro ambiente, llamamos a tales ciclos gigantes. Mostramos que para cada i y d hay una transición abrupta de la no existencia de ciclos gigantes a ciclos gigantes que abarcan la homología del toro. También probamos la convergencia de la función umbral a una constante en ciertos casos. En particular, demostramos que pc=1/2 en el caso de dimensión intermedia i=d/2 para ambos modelos. Esto proporciona análogos finito-volumen de dimensiones superiores de los teoremas de Kesten que dicen que pc=1/2 para la percolación de enlaces en una cuadrícula y la percolación de sitios en una cuadrícula triangular.