Optimización de Valores Propios de Dirac y Mapas Armónicos a Espacios Proyectivos Complejos

Resumen Considera un operador de Dirac en una superficie compacta orientada dotada de una métrica Riemanniana y una estructura de espín. Dado que el área y la clase conforme están fijas, ¿cuán pequeño puede ser el k-ésimo valor propio positivo de Dirac? Este problema refleja el problema de maximización de los valores propios del Laplaciano, que está relacionado con el estudio de mapas armónicos en esferas. Revelamos la conexión entre las métricas críticas para los valores propios de Dirac y los mapas armónicos en espacios proyectivos complejos. Usando este enfoque, mostramos que para muchas clases conformes en un toro, el primer valor propio de Dirac no nulo se minimiza mediante la métrica plana. También presentamos una nueva prueba geométrica del teorema de Bär, que establece que el primer valor propio de Dirac no nulo en la esfera se minimiza mediante la métrica estándar redonda.