El contenido definible de invariantes homológicos I: ExtExt y lim1lim¹

Resumen Esta es la primera entrega de una serie de artículos que ilustran cómo los invariantes clásicos del álgebra homológica y la topología algebraica pueden enriquecerse con información adicional de teoría de conjuntos descriptiva. Para llevar a cabo este enriquecimiento, mostramos que muchos de estos invariantes pueden considerarse naturalmente como funtores a la categoría, introducida aquí, de grupos con una cubierta polaca. Los invariantes definibles resultantes proporcionan medios de clasificación mucho más poderosos. En el presente trabajo nos enfocamos en los primeros funtores derivados de y . Los definibles resultantes para pares de grupos abelianos numerables y definibles para torres de grupos abelianos polacos refinan sustancialmente sus contrapartes clásicas. Mostramos, por ejemplo, que el definible es un functor covariante totalmente fiel de la categoría de grupos abelianos libres de torsión de rango finito sin sumandos libres; esto contrasta con el hecho de que hay inumerablemente muchos grupos no isomórficos tales con invariantes clásicos isomorfos. Para facilitar nuestro análisis, introducimos un marco general de estabilidad de Ulam para grupos con una cubierta polaca; dentro de este marco demostramos varios resultados de rigidez para grupos abelianos no arquímedos con una cubierta polaca. Un caso especial de nuestro resultado principal responde a una pregunta de Kanovei y Reeken sobre los cocientes de grupos p-adicos. Finalmente, utilizando métodos de superrigidez de cociclos para acciones profinitas de grupos de propiedad (T), obtenemos una jerarquía de grados de complejidad para el problema de clasificar todas las extensiones de grupos de hasta isomorfismo libre de base , cuando para números primos y .