Sobre conjuntos con diferencias faltantes en grupos abelianos compactos

Un problema muy estudiado planteado por Motzkin pregunta cómo determinar, dado un conjunto finito D de enteros, la denominada densidad de Motzkin de D, es decir, el supremo de las densidades superiores de conjuntos de enteros cuyo conjunto de diferencias evita D. Estudiamos el análogo natural de este problema en grupos abelianos compactos. Usando herramientas de teoría ergódica, se demuestra que esto es equivalente al siguiente problema discreto: dado un reticulado Zʳ, considerando D como la imagen en Zʳ/ de la base estándar, determine la densidad de Motzkin de D en Zʳ/. Estudiamos en particular la cuestión de la periodicidad: ¿hay un conjunto evitante de D de densidad máxima? El contraejemplo de Greenfeld-Tao a la conjetura de teselado periódico implica que la respuesta puede ser negativa. Por otro lado, probamos que la respuesta es positiva en varios casos, incluyendo el caso rango () =1 (en el cual damos una fórmula para la densidad de Motzkin), el caso rango () =r-1, y por lo tanto también el caso r 3.