El efecto Hall cuántico fraccional en una esfera y el teorema del índice de Atiyah-Singer

La mayoría de los análisis de las funciones de onda del estado fundamental del QHE ignoran el spin electrónico y simplemente utilizan escalares anticomutantes: ya sea porque los campos magnéticos fuertes separan los spins y el estado fundamental está completamente polarizado en spin o porque el estado fundamental es efectivamente degenerado en spin, por lo que el único efecto del spin es duplicar la degeneración del estado fundamental. Un enfoque útil es el de la esfera de Haldane, donde el sistema se coloca en una esfera bidimensional y se genera un campo magnético normal colocando un monopolo magnético en el centro de la esfera. El análisis del efecto Hall cuántico fraccional en este enfoque es algo sutil, ya que la función de onda del estado fundamental del Hamiltoniano no perturbado no es única en el enfoque de Haldane. Cuando se incorpora plenamente la naturaleza fermiónica de las partículas cargadas en esta imagen, el análisis se modifica y mostramos que, incorporando la imagen del fermión compuesto de Jain en la esfera de Haldane, se llega a un estado fundamental no perturbado único para el efecto Hall cuántico fraccional en una esfera. Una brecha de masa asegura así la estabilidad bajo perturbaciones. Una herramienta importante en el análisis es el teorema del índice de Atiyah-Singer.