Degeneración de Hipersuperficies Mínimas de 7 Dimensiones que son Estables o Tienen un Índice Acotado

Resumen Una hipersuperficie M⁷ M 7 embebida que minimiza el área en 7 dimensiones tendrá en general un conjunto singular discreto, y lo mismo es cierto si M es localmente estable proporcionado que {H}⁶ (singM) = 0. Demostramos que si Mᵢ⁷ M i 7 es una secuencia de hipersuperficies mínimas de 7D que son minimizantes, estables, o tienen índice acotado, entonces Mᵢ M M i → M puede limitar a una M⁷ M 7 singular con geometría, topología, y conjunto singular muy controlados. Mostramos que siempre se puede “parametrizar” una subsecuencia i' i ′ con mapas bi-Lipschitz controlados ₈' ϕ i ′ que toman ₈' (M₁') = M₈' ϕ i ′ (M 1 ′) = M i ′. Como consecuencia, probamos que el espacio de hipersuperficies mínimas suaves, cerradas, embebidas M en un 8-variedad Riemanniana cerrada (N⁸, g) tiene límites a priori {H}⁷ (M) ≦ Λ e índice (M) I índice (M) ≦ I se divide en un número finito de tipos de difeomorfismo, y esta finitud continúa siendo válida si se permite que la métrica g varíe o que M sea singular.