Resolviendo el Problema del Sofá Móvil Usando Cálculo de Variaciones

En 1966, Leo Moser introdujo el "problema del sofá móvil", que busca determinar el área más grande de una forma que se pueda maniobrar a través de un pasillo de 90 grados de ancho unitario. Este problema sigue sin resolverse y permanece abierto. En este documento, empleamos el método del cálculo de variaciones para resolver este problema. Suponiendo que las trayectorias y envolventes son convexas, el área del sofá se formula como un funcional integral sobre un conjunto de ecuaciones paramétricas para curvas. La forma final se determina resolviendo las ecuaciones de Euler-Lagrange. Utilizando métodos numéricos, obtenemos el área no trivial de 2.2195316, consistente con la constante bien conocida de Gerver desde 1992. Demostramos que tanto los resultados del sofá de Gerver como del coche de Romik satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange para la condición necesaria de área máxima. También exploramos casos adicionales y condiciones asimétricas, y discutimos otros problemas variantes.