Transporte geométrico de martingales de Benamou-Brenier y martingales de Bass geométricos

Introducimos y estudiamos martingales de Bass geométricos. Los martingales de Bass fueron introducidos en Ba83 y estudiados recientemente en una serie de trabajos, incluyendo BaBeHuKa20, BaBeScTs23, donde aparecen como soluciones a la versión martingale de la formulación de transporte óptimo de Benamou-Brenier. Estos martingales de Bass aritméticos, así como nuestro novedoso martingale de Bass geométrico, son martingales continuos en 0, 1 con distribuciones iniciales y terminales prescritas. Un martingale de Bass aritmético es el que más se acerca al movimiento browniano: su variación cuadrática es lo más cercana posible a ser lineal en el sentido de L² promedio. Su contraparte geométrica que desarrollamos aquí, es la que más se acerca a un movimiento browniano geométrico: la variación cuadrática de su logaritmo es lo más cercana posible a ser lineal. Por analogía entre los modelos de Bachelier y Black-Scholes en finanzas matemáticas, los nuevos martingales de Bass geométricos tienen el potencial de ser de mayor importancia práctica en una serie de aplicaciones. Nuestra principal contribución es exhibir una biyección explícita entre martingales de Bass geométricos y sus contrapartes aritméticas. Esto nos permite, en particular, traducir propiedades finas de estas últimas al nuevo marco geométrico. Obtenemos una representación explícita para un martingale de Bass geométrico para márgenes iniciales y terminales dados, lo caracterizamos como solución a una SDE y mostramos que el movimiento browniano geométrico es el único proceso que es simultáneamente un martingale de Bass aritmético y geométrico. Finalmente, deducimos una formulación dual para nuestro problema de martingale geométrico de Benamou-Brenier. Nuestra demostración principal es de naturaleza probabilística y utiliza un cambio de medida adecuado, pero también proporcionamos argumentos de PDE apoyados en la formulación dual del problema, que ofrecen una prueba rigurosa bajo suposiciones de regularidad adecuadas.