Método de Colocación Espectral en el Espacio-Temporales de Redes Tensoriales para Resolver la Ecuación de Convección-Difusión No Lineal

Los métodos espectrales proporcionan soluciones numéricas altamente precisas para ecuaciones diferenciales parciales, exhibiendo convergencia exponencial con el número de nodos espectrales. Tradicionalmente, al abordar problemas no lineales dependientes del tiempo, la atención se ha centrado en esquemas de diferencias finitas de bajo orden para la discretización temporal y esquemas de elementos espectrales para las variables espaciales. Sin embargo, nuestros desarrollos recientes han dado lugar a la aplicación de métodos espectrales tanto a variables espaciales como temporales, preservando la convergencia espectral en ambos dominios. Aprovechando las técnicas de Tensor Train, nuestro enfoque aborda la maldición de la dimensionalidad inherente a los métodos espacio-temporales. Aquí, extendemos esta metodología a la ecuación de convección-difusión no lineal dependiente del tiempo. Nuestro esquema de discretización exhibe una estructura de bajo rango, facilitando la traducción al formato de tensor-train (TT). Sin embargo, controlar el rango de TT a través de las iteraciones de Newton, necesario para lidiar con la no linealidad, plantea un desafío, lo que nos lleva a idear el método "Step Truncation TT-Newton". Demostramos la convergencia exponencial de nuestros métodos a través de varios ejemplos de referencia. Importante, nuestro esquema ofrece una reducción significativa en los requisitos de memoria en comparación con el esquema de rejilla completa.