Juegos de percolación en árboles aleatorios enraizados y ponderados por aristas

Considera un árbol de Galton-Watson enraizado T, al cual asignamos, de manera independiente, un peso que es +1 con probabilidad p₁, 0 con probabilidad p₀ y -1 con probabilidad p-₁=1-p₁-p₀. Jugamos un juego en este árbol de Galton-Watson enraizado y ponderado por aristas, que involucra a dos jugadores y un token. El token puede ser trasladado desde donde se encuentra actualmente, digamos un vértice u de T, a cualquier hijo v de u. Los jugadores comienzan con capitales iniciales que suman i y j unidades respectivamente, y un jugador gana si ella es la primera en acumular un capital que vale unidades, donde es un entero positivo preespecificado, o su oponente es el primero en ver disminuir su capital a 0, o ella es capaz de mover el token a un vértice hoja, desde donde su oponente no puede moverlo más lejos. Este documento se ocupa de estudiar las probabilidades de los tres posibles resultados (es decir, ganar para el primer jugador, perder para el primer jugador, y empate para ambos jugadores) de este juego, así como de encontrar condiciones bajo las cuales la duración esperada de este juego es finita. La teoría que desarrollamos en este documento para el análisis de este juego está además respaldada por observaciones obtenidas a través de simulaciones computacionales, y estas observaciones proporcionan una visión más profunda de cómo se comportan las probabilidades mencionadas anteriormente a medida que los parámetros subyacentes y/o distribuciones de descendencia varían. Concluimos el documento con un par de conjeturas, una de las cuales sugiere la ocurrencia de un fenómeno de transición de fase por el cual la probabilidad de empate en este juego pasa de ser 0 a ser estrictamente positiva a medida que se varía adecuadamente el par de parámetros (p₀, p₁) manteniendo fija la distribución de descendencia subyacente de T.