Sobre descomposiciones de diferencia de SOS y diferencia de SOS convexos para polinomios

.En este artículo, estamos interesados en desarrollar técnicas de descomposición polinómica basadas en sumas de cuadrados (SOS), a saber, la diferencia de sumas de cuadrados (D-SOS) y la diferencia de sumas convexas de cuadrados (DC-SOS). En particular, la descomposición DC-SOS es muy útil para la formulación de programación de diferencias convexas (DC) de problemas de optimización polinómica. Primero, introducimos el cono de polinomios de sumas convexas de cuadrados (CSOS) y discutimos su relación con los polinomios de sumas de cuadrados (SOS), los polinomios no negativos y los polinomios SOS convexos. Luego proponemos el conjunto de polinomios D-SOS y DC-SOS y demostramos que cualquier polinomio puede ser formulado como D-SOS y DC-SOS. El problema de encontrar descomposiciones D-SOS y DC-SOS puede formularse como un programa semidefinido y resolverse para cualquier precisión deseada en tiempo polinómico utilizando métodos de punto interior. Se establecen algunas propiedades algebraicas de CSOS, D-SOS y DC-SOS. En segundo lugar, nos centramos en establecer varios algoritmos prácticos para descomposiciones polinómicas D-SOS y DC-SOS exactas sin resolver ningún SDP. Se reporta el rendimiento numérico de los algoritmos de descomposición D-SOS y DC-SOS propuestos y sus versiones paralelas, probados en un conjunto de datos de 1750 polinomios generados aleatoriamente. Palabras clave: diferencia de sumas de cuadrados, sumas convexas de cuadrados, diferencia de sumas convexas de cuadrados, optimización polinómica, programación DC, códigos MSC: 12Y0565, K0590, C2290, C2590, C2690, C3090, C90.