Un camino sistemático hacia dinámicas no Markovianas II: Respuesta probabilística de sistemas no lineales multidimensionales a la excitación por ruido coloreado gaussiano

La caracterización probabilística de las respuestas no Markovianas a sistemas dinámicos no lineales bajo excitación coloreada es un tema importante, que surge en muchas aplicaciones. Extender la ecuación de Fokker-Planck-Kolmogorov, que rige la función de densidad de probabilidad (pdf) de respuesta de primer orden, a este caso es una tarea complicada que requiere un tratamiento especial. En este trabajo, se deriva una nueva ecuación de evolución de pdf para la respuesta de sistemas dinámicos no lineales bajo ruido gaussiano coloreado aditivo. La derivación se basa en la ecuación de Liouville estocástica (SLE), transformada, mediante una versión extendida del teorema de Novikov-Furutsu, a una ecuación exacta pero no cerrada, que involucra promedios sobre la historia de las derivadas funcionales de la respuesta no Markoviana con respecto a la excitación. Estas últimas se calculan exactamente por medio de la matriz de transición de estado de sistemas variacionales y de tiempo variable. Posteriormente, se implementa un esquema de aproximación, basándose en una descomposición de la matriz de transición de estado en su valor medio instantáneo y su fluctuación alrededor de ello. Mediante una aproximación de tiempo actual a esta última, obtenemos nuestra ecuación final, en la que se mantiene el efecto del valor medio instantáneo de la respuesta, volviéndola no lineal y no local en el tiempo. Se proporcionan resultados numéricos para la pdf de respuesta de un oscilador de Duffing bistable, bajo excitación gaussiana. Las pdf obtenidas de la solución de la nueva ecuación y una ecuación de evolución de pdf más simple de tiempo de correlación pequeña (SCT) se comparan con simulaciones de Monte Carlo (MC). La nueva ecuación supera a la ecuación SCT a medida que aumenta el tiempo de correlación de la excitación, manteniendo un buen acuerdo con las simulaciones de MC.