Desigualdad generalizada de van Trees: límites minimax locales para funcionales no suaves y modelos estadísticos irregulares

En un marco teórico de decisiones, el límite inferior minimax proporciona el rendimiento en el peor de los casos de los estimadores en relación con una clase dada de modelos estadísticos. Para modelos paramétricos y semiparamétricos, el teorema de minimax asintótico local (LAM) de H\'ajek--Le Cam proporciona el límite inferior asintótico óptimo y preciso. A pesar de su relativa generalidad, este resultado tiene limitaciones ya que solo se aplica a la estimación de funcionales diferenciables bajo modelos estadísticos regulares. Por otro lado, los límites inferiores minimax no asintóticos, como los basados en la reducción a pruebas de hipótesis, no suelen proporcionar constantes asintóticas precisas. Inspirados en la reciente mejora de la desigualdad de van Trees y métodos relacionados en la literatura, proporcionamos nuevos límites inferiores minimax no asintóticos bajo suposiciones de regularidad mínima, que implican constantes asintóticas precisas. Los límites inferiores propuestos no requieren la diferenciabilidad de los funcionales ni la regularidad de los modelos estadísticos, extendiendo la teoría de la eficiencia a situaciones más amplias donde los enfoques estándar fallan. Además, nuevos límites inferiores proporcionan constantes no asintóticas, que pueden arrojar luz sobre límites fundamentales más refinados de la estimación en muestras finitas. Demostramos que nuevos límites inferiores recuperan muchos resultados clásicos, incluido el teorema LAM y límites de eficiencia semiparamétricos. También ilustramos el uso del nuevo límite inferior derivando el límite inferior minimax local para estimar la densidad en un punto y parámetros diferenciables direccionales.