Cuasiconformaciones casi parametrizadas de superficies métricas

Buscamos condiciones mínimas en una superficie métrica bidimensional X de medida Hausdorff 2 localmente finita bajo las cuales X admite una parametrización (casi) con buenas propiedades geométricas y analíticas. Solo asumiendo que X es geodésica localmente, mostramos que los dominios de Jordan en X de longitud de frontera finita admiten una cuasiconformación casi parametrizada. Si X cumple con algunas condiciones adicionales, entonces dicha parametrización casi puede ser mejorada a un homeomorfismo cuasiconformal geométrico o un homeomorfismo cuasisimétrico. En particular, recuperamos el teorema de uniformización cuasiconformal reciente de Rajala en el caso especial en que X es geodésica localmente, así como el teorema de uniformización cuasisimétrica de Bonk–Kleiner. En el proceso, establecemos la existencia de discos de Sobolev que abarcan una curva de Jordan dada en X bajo supuestos casi mínimos sobre X y demostramos la continuidad de los minimizadores de energía.