Desigualdades Funcionales en Espacios Simétricos de Tipo No Compacto y Aplicaciones

Resumen El objetivo de este artículo es iniciar un estudio sistemático de desigualdades funcionales en espacios simétricos de tipo no compacto de rango superior. Nuestra primera meta principal de este estudio es establecer la desigualdad de Stein–Weiss, también conocida como desigualdad de Hardy–Littlewood–Sobolev ponderada, para el potencial de Riesz en espacios simétricos de tipo no compacto. Esto se logra mediante estimaciones delicadas de la función esférica fundamental utilizando la distancia poliédrica en espacios simétricos y combinando la desigualdad integral de Hardy desarrollada por Ruzhansky y Verma con las estimaciones del núcleo de Bessel-Green-Riesz obtenidas por Anker y Ji en espacios simétricos de tipo no compacto. Como consecuencia de la desigualdad de Stein–Weiss, deducimos las desigualdades de Hardy–Sobolev, Hardy–Littlewood–Sobolev, Gagliardo–Nirenberg y Caffarelli–Kohn–Nirenberg en espacios simétricos de tipo no compacto. El segundo propósito principal de este artículo es mostrar las aplicaciones de las desigualdades mencionadas para el estudio de PDEs no lineales en espacios simétricos. En particular, mostramos que la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg se puede usar para establecer resultados de existencia global de datos pequeños para las ecuaciones de onda semilineales con términos de amortiguamiento y masa para el operador de Laplace–Beltrami en espacios simétricos.