Una función relacionada con el rango de Mordell-Weil de curvas elípticas

Sea p un número primo. Para cada número natural n, estudiamos el comportamiento de la función Formula: see text que enumera el número de factorizaciones Formula: see text con Formula: see text un cuadrado perfecto (mod p). El estudio de esta función está inspirado en la función cognada Formula: see text que enumera el número de factorizaciones Formula: see text con Formula: see text un cuadrado perfecto. La teoría de descenso de curvas elípticas mostraría que si Formula: see text es no acotada para valores sin cuadrados de n, entonces hay curvas elípticas sobre el campo de los números racionales con rango arbitrariamente grande. En esta nota, mostramos que para cada primo p, Formula: see text es no acotada a medida que n varía sobre valores sin cuadrados, proporcionando así alguna evidencia para la conjetura de que Formula: see text es no acotada para n sin cuadrados.