Representaciones de grupos en espacios de Banach

Establecemos un marco general para la representabilidad de un grupo métrico en una clase (bien comportada) de espacios de Banach. Más precisamente, sea G G un grupo topológico y A A una subálgebra C ∗ C^* simétrica unital de U C (G) UC (G), la álgebra de funciones acotadas y uniformemente continuas sobre G G. Generalizando la noción de métrica estable, estudiamos las métricas A A -δ, es decir, la función δ (e, ⋅) (e, ) pertenece a A A; el caso A = W A P (G) A=W -0. 7mm A -0. 2mm P (G), la álgebra de funciones débilmente casi periódicas sobre G G, recupera la estabilidad. Si la topología de G G está inducida por una métrica d d invariante a la izquierda, probamos que A A determina la topología de G G si y sólo si d d es uniformemente equivalente a una A A -métrica invariante a la izquierda. Como aplicación, mostramos que el grupo aditivo de C 0, 1 C0, 1 no es representable reflexivamente; esta es una nueva prueba de Megrelishvili Grupos de transformación topológica: temas seleccionados, Elsevier, 2007, Pregunta 6. 7 (el problema ya había sido resuelto por Ferri y Galindo Studia Math. 193 (2009), pp. 99–108 con diferentes métodos y posteriormente los resultados fueron generalizados por Yaacov, Berenstein y Ferri Math. Z. 267 (2011), pp. 129–138). Sea ahora G G un grupo métrico, y asumamos que A ⊆ L U C (G) A LUC (G), la álgebra de funciones acotadas uniformemente continuas a la izquierda sobre G G, es una C ∗ C^* -álgebra unital que es el cierre uniforme de los coeficientes de representaciones de G G sobre miembros de F F, donde F F es una clase de espacios de Banach cerrada bajo sumas directas ℓ 2 ₂. Probamos que A A determina la topología de G G si y sólo si G G se incrusta en el grupo de isometrías de un miembro de F F, equipado con la topología débil de operadores. Como aplicaciones, obtenemos caracterizaciones de la representabilidad unitaria y reflexiva.