Sobre el principio máximo para problemas de control relajado de sistemas estocásticos no lineales

Resumen Consideramos problemas de control óptimo para un sistema gobernado por una ecuación diferencial estocástica impulsada por un movimiento browniano de dimensión d, donde tanto la deriva como el coeficiente de difusión son controlados. Es bien conocido que, sin condiciones adicionales de convexidad, el problema de control estricto no admite un control óptimo. Para superar esta dificultad, consideramos el modelo relajado, en el cual los controles admisibles son procesos valorados en medidas y el proceso de estado relajado está gobernado por una ecuación diferencial estocástica impulsada por una medida martingala ortogonal continua. Este modelo relajado admite un control óptimo que puede ser aproximado por una secuencia de controles estrictos mediante el llamado lema de chattering. Establecemos condiciones necesarias de optimalidad, en términos de dos procesos adjuntos, ampliando el principio máximo de Peng a problemas de control relajado. Mostramos que relajar las partes martingalas de deriva y difusión directamente como en el control determinista no conduce a un verdadero modelo relajado, ya que la dinámica controlada obtenida no es continua en la variable de control.