Aproximación Polinómica por Partes Optimizada por Aprendizaje Automático

Los Polinomios por Partes (PPs) se utilizan en diversas disciplinas de ingeniería, como la planificación de trayectorias, para aproximar perfiles de posición dados en forma de un conjunto de puntos. Mientras que el objetivo de la aproximación junto con los requisitos específicos del dominio, como la continuidad Ck, se puede formular como un sistema de ecuaciones y resultar en un cálculo directo, tales soluciones en forma cerrada poseen una flexibilidad limitada respecto a los grados polinómicos, las bases polinómicas o la adición de requisitos adicionales específicos del dominio. Los objetivos de optimización suficientemente complejos pronto requieren el uso de métodos numéricos, como el descenso de gradiente. Dado que el descenso de gradiente está en el corazón del entrenamiento de Redes Neuronales Artificiales (ANNs), los marcos modernos de Aprendizaje Automático (ML) como TensorFlow vienen con un conjunto de optimizadores basados en gradientes potencialmente adecuados para una amplia gama de problemas de optimización más allá de la tarea de entrenamiento para ANNs. Nuestro enfoque es utilizar la versatilidad de los modelos PP y combinarla con el potencial de los optimizadores modernos de ML para su uso en la aproximación de funciones en la planificación de trayectorias en 1D en el contexto del diseño de levas electrónicas. Utilizamos los optimizadores disponibles del marco de ML TensorFlow directamente, fuera del ámbito de las ANNs, para optimizar los parámetros del modelo de nuestro modelo PP. En este documento, mostramos cómo una base polinómica ortogonal contribuye a mejorar el rendimiento de la optimización de aproximación y continuidad. Utilizando polinomios de Chebyshev de primer tipo, desarrollamos un nuevo enfoque de regularización que permite un comportamiento de convergencia claramente mejorado. Mostramos que, utilizando este enfoque de regularización, la base de Chebyshev tiene un mejor rendimiento que la base de potencias para todos los optimizadores relevantes en la configuración combinada de optimización de aproximación y continuidad y demostramos la usabilidad del enfoque presentado dentro del dominio de levas electrónicas.