Grafos de relaciones de ideal superior asociados a anillos

Sea R un anillo con unidad. El grafo de relación de ideal superior U(R) del anillo R es un grafo simple no dirigido cuya colección de vértices es el conjunto de todos los elementos no unidad de R y dos vértices distintos x, y son adyacentes si y solo si existe un elemento no unidad z de R tal que los ideales (x) y (y) están contenidos en el ideal (z). En este artículo, clasificamos todos los anillos conmutativos finitos no locales cuyos grafos de relación de ideal superior son grafos divididos, grafos de umbral y cografos, respectivamente. Con el fin de estudiar propiedades topológicas de U(R), determinamos todos los anillos conmutativos finitos no locales R cuyos grafos de relación de ideal superior tienen género como máximo 2. Además, caracterizamos con precisión todos los anillos conmutativos finitos no locales para los cuales el crosscap de U(R) es 1 o 2.