Funciones no constantes con gradiente no local cero y su papel en problemas tipo Neumann no locales

Este trabajo se centra en las propiedades y aplicaciones de funciones cuyo gradiente no local, o más precisamente, gradiente fraccional de horizonte finito, desaparece. Sorprendentemente, a diferencia de la teoría local clásica, mostramos que esta clase forma un espacio vectorial de dimensiones infinitas. Nuestro resultado principal caracteriza las funciones con gradiente no local cero en términos de dos características simples, a saber, sus valores en una capa alrededor de la frontera y su promedio. La demostración aprovecha los avances recientes en la teoría de soluciones de problemas de valor en la frontera con operadores pseudo-diferenciales. Complementamos estos hallazgos con una discusión sobre las propiedades de regularidad de tales funciones y damos ejemplos ilustrativos. En cuanto a aplicaciones, proporcionamos varias herramientas técnicas útiles para trabajar con espacios de Sobolev no locales cuando se eliminan las condiciones de valor complementarias comunes. Entre estas se encuentran nuevas desigualdades de Poincaré no locales y afirmaciones de compacidad, que se obtienen después de excluir funciones con gradiente no local que desaparece. Siguiendo un enfoque variacional, aprovechamos los hallazgos anteriores para estudiar una clase de ecuaciones diferenciales parciales no locales sujetas a condiciones de frontera naturales, en particular, problemas tipo Neumann no locales. Nuestro análisis incluye una demostración de la bien planteadez y un vínculo riguroso con sus contraparte locales clásicas a través de la -convergencia a medida que el parámetro fraccional tiende a 1.