Cáscaras convexas de curvas monomiales y un positivstellensatz escaso

Resumen Considera la cáscara convexa cerrada K de una curva monomial dada paramétricamente como (t^m₁, , t^mₙ) (t m 1, …, t m n), con el parámetro t variando en un intervalo I. Mostramos, utilizando argumentos constructivos, que K admite una descripción semidefinida elevada mediante O (d) desigualdades de matrices lineales (LMI), cada una de tamaño n2 +1 n 2 + 1, donde d= \m₁, , mₙ\ d = max m 1, …, m n es el grado de la curva. En el lado dual, demostramos que si un polinomio univariado p (t) de grado d con a lo sumo 2k+1 2 k + 1 monomios es no negativo en {R}_+ R +, entonces p admite una representación p = t⁰ ₀ + + t^d-k ₃-₊ p = t 0 σ 0 + ⋯ + t d - k σ d - k, donde los polinomios ₀, , ₃-₊ σ 0, …, σ d - k son sumas de cuadrados y (ᵢ) 2k deg (σ i) ≤ 2 k. Este último es un positivstellensatz univariado para polinomios escasos, con la no negatividad de p certificada por polinomios sos cuyo grado solo depende de la escasez de p. Nuestros resultados encajan en el intento general de formular problemas de optimización polinómica como problemas semidefinidos con LMI de pequeño tamaño. Tales descripciones de pequeño tamaño son mucho más tratables desde un punto de vista computacional.