Jerarquías de KdV y ecuaciones cuánticas de Novikov

Este artículo comienza con una revisión de la bien conocida jerarquía de KdV, la N-ésima ecuación de Novikov y su jerarquía finita en el caso conmutativo clásico. Esta jerarquía finita consiste en N sistemas dinámicos polinómicos integrables compatibles en C^2N. Discutimos una versión no conmutativa de la N-ésima jerarquía de Novikov definida en el álgebra asociativa libre generada finitamente BN con 2N generadores. Usando el método de ideales de cuantización en BN, para N=1, 2, 3, 4, obtenemos ideales homogéneos bilaterales QNBN (ideales de cuantización) que son invariantes respecto a la N-ésima ecuación de Novikov y tales que el álgebra cociente CN = BN/ QN tiene una base bien definida de Poincaré-Birkhoff-Witt. Esto nos permite definir la ecuación cuántica N-ésima de Novikov y su jerarquía en CN. Derivamos N integrales cuánticas de primer orden conmutantes (Hamiltonianos) y representamos las ecuaciones de la jerarquía en la forma de Heisenberg. Esencial para nuestra investigación es el concepto de álgebras de Frobenius cíclicas, que introdujimos en nuestro artículo reciente. En términos de la forma cuadrática que define la estructura de un álgebra de Frobenius cíclica, expresamos explícitamente los primeros integrales de la jerarquía N-ésima de Novikov en los casos conmutativos, libres y cuánticos.