Caminatas Aleatorias Ramificadas en un Ambiente de Muerte Aleatoria con una Sola Fuente de Reproducción

Consideramos una caminata aleatoria ramificada en tiempo continuo sobre Z en un ambiente aleatorio no homogéneo. El proceso comienza con una sola partícula en el tiempo inicial t=0. Esta partícula puede caminar sobre los puntos de la red o desaparecer con una intensidad aleatoria hasta que alcanza el punto determinado, al que llamamos fuente de reproducción. En la fuente, la partícula puede dividirse en dos descendientes o saltar fuera de la fuente. Los descendientes de la partícula inicial evolucionan de acuerdo con la misma ley, independientemente unos de otros y de toda la prehistoria. El objetivo de este trabajo es estudiar las condiciones para la presencia de crecimiento exponencial del número promedio de partículas en cada punto de la red. Para este propósito, investigamos el espectro del operador de evolución aleatoria de los números promedio de partículas. Derivamos la condición bajo la cual existe un crecimiento exponencial con probabilidad uno. También estudiamos el proceso bajo la violación de esta condición y presentamos las estimaciones inferiores y superiores para la probabilidad de crecimiento exponencial.