Propiedades analíticas de Fourier de conjuntos de Kakeya en campos finitos

Demostramos que un conjunto de Kakeya en un espacio vectorial sobre un campo finito de tamaño q siempre soporta una medida de probabilidad cuya transformada de Fourier está acotada por q^{-1} para todas las frecuencias no nulas. Mostramos que este límite es ajustado en todas las dimensiones de al menos 2. En particular, esto proporciona una nueva prueba autocontenida de que un conjunto de Kakeya en dimensión 2 tiene un tamaño de al menos q²/2 (que es asintóticamente afilado). También establecemos resultados análogos para conjuntos que contienen k-planos en un conjunto dado de orientaciones.