Sentencias Nullstellensätze Estructuradas y Perforadas

Un Nullstellensatz es un teorema que proporciona información sobre polinomios que desaparecen en un conjunto determinado: el Nullstellensatz de David Hilbert (1893) es una piedra angular de la geometría algebraica, y el Nullstellensatz Combinatorio de Noga Alon (1999) es una herramienta poderosa en el "Método Polinómico", una técnica utilizada en combinatoria. El Teorema de Alon excluye que un polinomio que desaparece en una cuadrícula contenga un monomio con ciertas propiedades. Este teorema ha sido generalizado en varias direcciones, dos de las cuales consideraremos en detalle: Terence Tao y Van H. Vu (2006), Uwe Schauz (2008) y Michał Lasoń (2010) excluyen más monomios, y recientemente, Bogdan Nica (2023) mejoró el resultado para cuadrículas con simetrías adicionales en sus bordes laterales. Simeon Ball y Oriol Serra (2009) incorporaron la multiplicidad de ceros y dieron Nullstellensätze para cuadrículas perforadas, que son conjuntos de la forma X Y con ambas X, Y cuadrículas. Generalizamos algunos de estos resultados; en particular, proporcionamos una generalización común a los resultados de Schauz y Nica. Con este fin, establecemos que durante la división de polinomios multivariantes, ciertos monomios no se ven afectados. Esto también nos permite generalizar la demostración de Pete L. Clark del teorema de conteo no nulo de Alon y Füredi a cuadrículas perforadas.